Estatística Aplicada — Exercício Geral 1
Resolução das 7 questões com os métodos e fórmulas das aulas do professor (distribuição de frequência, medidas de tendência central e dispersão, boxplot, curva normal e estimação). Gráficos reais e interativos, com valores nos eixos.
Q1
Percepção sobre o AVA
44 respostas: Muito frequentemente (MF), Frequentemente (F), Eventualmente (E), Raramente (R), Nunca (N).
a) Distribuição de frequência
F = nº de vezes que a resposta aparece
F% = (F / n) × 100 n = 44
| Resposta | F | F% |
|---|---|---|
| Muito frequentemente (MF) | 4 | 9,09 |
| Frequentemente (F) | 7 | 15,91 |
| Eventualmente (E) | 16 | 36,36 |
| Raramente (R) | 10 | 22,73 |
| Nunca (N) | 7 | 15,91 |
| Σ | 44 | 100,00 |
Exemplo: MF → 4/44 × 100 = 9,09%. A moda é Eventualmente (maior frequência).
b) Gráfico de colunas
c) % de respostas positivas
Positivas = MF + F = 4 + 7 = 11
% = 11 / 44 × 100 = 25%
25% das respostas são positivas (9,09% + 15,91%).
Q2
Tempo de resposta do backend (ms)
Amostra de n = 36 requisições.
Rol:
a) Distribuição com intervalo de classe
Amplitude Total AT = maior − menor = 368 − 120 = 248
Nº de classes k = √n = √36 = 6
Amplitude classe h = AT / k = 248 / 6 = 41,3 ≈ 42
| Tempo (ms) | F | F% | Pm (x) | x·F | F·(x−x̄)² | FAC |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 120 |— 162 | 2 | 5,56 | 141 | 282 | 22.542,72 | 2 |
| 162 |— 204 | 8 | 22,22 | 183 | 1.464 | 32.938,89 | 10 |
| 204 |— 246 | 9 | 25,00 | 225 | 2.025 | 4.422,25 | 19 |
| 246 |— 288 | 7 | 19,44 | 267 | 1.869 | 2.753,53 | 26 |
| 288 |— 330 | 6 | 16,67 | 309 | 1.854 | 22.940,17 | 32 |
| 330 |—| 372 | 4 | 11,11 | 351 | 1.404 | 43.125,44 | 36 |
| Σ | 36 | 100,00 | – | 8.898 | 128.723,00 | – |
Pm = ponto médio da classe = (limite inferior + limite superior) / 2. FAC = frequência acumulada = soma de F da própria classe com as anteriores.
b) Gráfico da FAC (ogiva)
c) Desvio padrão
x̄ = Σ(x·F) / n = 8.898 / 36 = 247,17 ms
s = √[ Σ F·(x − x̄)² / (n − 1) ]
s = √( 128.723 / 35 ) = √3.677,8 = 60,64 ms
Desvio padrão s ≈ 60,64 ms. Como os dados são amostrais, divide-se por n − 1.
d) Mediana
Posição = n / 2 = 36 / 2 = 18º → classe 204 |— 246 (FAC chega a 19)
Md = L + [ (n/2 − FACant) / F ] · h
Md = 204 + [ (18 − 10) / 9 ] · 42
Md = 204 + 37,33 = 241,33 ms
Tempo de resposta mediano ≈ 241,33 ms.
e) Tempo médio com N/C de 95%
N/C 95% → Z = 1,96
e = Z · s / √n = 1,96 · 60,64 / √36 = 1,96 · 10,11 = 19,81 ms
P( x̄ − e ≤ μ ≤ x̄ + e ) = 95%
P( 247,17 − 19,81 ≤ μ ≤ 247,17 + 19,81 ) = 95%
Com 95% de confiança, o tempo médio de resposta está entre 227,36 ms e 266,98 ms.
f) A amostra é suficiente? (erro máximo 20 ms)
n = ( Z · s / e )²
n = ( 1,96 · 60,64 / 20 )² = ( 5,943 )² = 35,32 → 36 elementos
Sim, é suficiente. São necessários 36 elementos e a amostra tem exatamente 36. O item (e) confirma: a margem de erro obtida (19,81 ms) ficou abaixo dos 20 ms.
Q3
Investimento em treinamento na filial (mil R$)
168, 118, 195, 200, 201, 215, 209, 205, 198, 185, 212, 200 (12 meses).
a) Média mensal
x̄ = Σx / n = 2.306 / 12 = 192,17 mil R$
Média mensal ≈ R$ 192,17 mil.
b) Moda
Rol: 118 · 168 · 185 · 195 · 198 · 200 · 200 · 201 · 205 · 209 · 212 · 215
Mo = R$ 200 mil (único valor que se repete, 2 vezes).
c) Boxplot
n = 12 (par)
Mediana = (6º + 7º)/2 = (200 + 200)/2 = 200
Posição do quartil = 1 + (n−1)·p (p = 0,25 → Q1 | p = 0,75 → Q3)
Q1: posição = 1 + 11·0,25 = 3,75 → 185 + 0,75·(195 − 185) = 192,5
Q3: posição = 1 + 11·0,75 = 9,25 → 205 + 0,25·(209 − 205) = 206
AIQ = Q3 − Q1 = 206 − 192,5 = 13,5
LS = Q3 + 1,5·AIQ = 206 + 20,25 = 226,25
LI = Q1 − 1,5·AIQ = 192,5 − 20,25 = 172,25
| Medida (filial) | Valor |
|---|---|
| Mediana | 200 |
| Quartil 1 | 192,5 |
| Quartil 3 | 206 |
| AIQ | 13,5 |
| LS | 226,25 |
| LI | 172,25 |
| Maior valor antes do LS | 215 |
| Menor valor antes do LI | 185 |
| Outliers inferiores | 118 e 168 |
A caixa é estreita (dados concentrados entre 192,5 e 206), mas há dois meses muito abaixo do padrão (118 e 168), marcados como outliers.
d) Matriz (CV = 17,43%) ou filial?
Σ(x − x̄)² = 7.741,67
σ = √( 7.741,67 / 12 ) = √645,14 = 25,40 mil R$
CV = σ / x̄ × 100 = 25,40 / 192,17 × 100 = 13,22%
CV filial = 13,22% < CV matriz = 17,43%. A filial tem a média mais representativa (menor dispersão). Mesmo usando s com n − 1 (26,53 → CV = 13,8%), a conclusão não muda.
Q4
CPU × tempo de resposta do servidor
| Dia | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| CPU (%) | 51 | 40 | 79 | 60 | 50 | 80 | 93 | 70 | 87 |
| Tempo (ms) | 145 | 178 | 201 | 252 | 281 | 320 | 279 | 250 | 263 |
a) Mediana do uso da CPU
Rol: 40 · 50 · 51 · 60 · 70 · 79 · 80 · 87 · 93
Posição = (n + 1)/2 = (9 + 1)/2 = 5º elemento
Md = 70% de uso da CPU.
b) Média do tempo de resposta
x̄ = Σx / n = (145+178+201+252+281+320+279+250+263) / 9
x̄ = 2.169 / 9 = 241 ms
Tempo médio de resposta = 241 ms.
c) Classificação das variáveis
| Questão · variável | Tipo |
|---|---|
| Q1 · Percepção sobre o AVA | Qualitativa ordinal |
| Q2 · Tempo de resposta (ms) | Quantitativa contínua |
| Q3 · Investimento (mil R$) | Quantitativa contínua |
| Q4 · Uso da CPU (%) | Quantitativa contínua |
| Q4 · Tempo de resposta (ms) | Quantitativa contínua |
| Q5 · Investimento anual (R$) | Quantitativa contínua |
| Q6 · Custos (mil R$) | Quantitativa contínua |
| Q7 · Armazenamento (TB) | Quantitativa contínua |
A resposta da Q1 é um rótulo com ordem natural (de "Nunca" a "Muito frequentemente"), por isso é ordinal. As demais são medições que podem assumir infinitos valores em um intervalo, por isso contínuas.
Q5
Investimento menor que R$ 50.000
μ = R$ 57.500 · σ = R$ 9.700 · P(X < 50.000) = ?
Z = (x − μ) / σ = (50.000 − 57.500) / 9.700 = −0,77
Tabela Z (0,77) → 0,2794 (área entre a média e Z)
P(X < 50.000) = 0,5 − 0,2794 = 0,2206
Probabilidade de 22,06%. Regra: como o valor pedido é menor que μ, P(X < x) = 0,5 − área tabelada.
Q6
Custos com treinamento (mai–out)
a) Desvio padrão
| Mês | x | (x − μ)² | F% | Graus |
|---|---|---|---|---|
| Maio | 29 | 529 | 9,29 | 33,5° |
| Junho | 35 | 289 | 11,22 | 40,4° |
| Julho | 46 | 36 | 14,74 | 53,1° |
| Agosto | 51 | 1 | 16,35 | 58,8° |
| Setembro | 72 | 400 | 23,08 | 83,1° |
| Outubro | 79 | 729 | 25,32 | 91,2° |
| Σ | 312 | 1.984 | 100 | 360° |
μ = 312 / 6 = 52 mil R$
σ = √( Σ(x − μ)² / n ) = √( 1.984 / 6 ) = √330,67 = 18,18 mil R$
Desvio padrão σ ≈ R$ 18,18 mil.
b) Gráfico de setores
Graus = (F% / 100) × 360
Ex.: Maio → (9,29 / 100) × 360 = 33,5°
c) Em qual ano a dispersão foi maior?
CV = σ / μ × 100 = 18,18 / 52 × 100 = 34,97%
CV ano passado = 34,97% > 17% do ano retrasado. A dispersão foi maior no ano passado, porque quanto maior o CV, maior a dispersão em relação à média.
O enunciado diz "coeficiente de determinação", mas pelo contexto (comparar dispersão) trata-se do coeficiente de variação.
Q7
Capacidade do servidor ultrapassada
Capacidade = 2,73 TB · μ = 1,95 TB · σ = 0,5 TB · P(X > 2,73) = ?
Z = (x − μ) / σ = (2,73 − 1,95) / 0,5 = 1,56
Tabela Z (1,56) → 0,4406
P(X > 2,73) = 0,5 − 0,4406 = 0,0594
A chance de a capacidade ser ultrapassada no próximo mês é de 5,94%. Regra: como o valor pedido é maior que μ, P(X > x) = 0,5 − área tabelada.